Q父母が生前のうちに父名義の預金を一部母へ移しておく事に問題ないでしょうか？

問題があります。

生活費の範囲以上の預金をお母様の口座へ移されると、「生前贈与」とみなされ、贈与税がかかる可能性があります。また、お父様の死後に判明した場合は、「名義預金としてお父様の相続財産」とみなされ、相続税の対象になる可能性があります。
相続税の節税のために、預金を生前贈与で減らしたいのか？
お父様の認知症対策のために、預金を動かせるようにしておきたいのか？
なんのために、移動されたいのかを確認して、対策を実行されることをお勧めします。