Q父名義の家に名義変更せずに住んでても問題ない(違法ではない)とのことですが、死亡後に固定資産税の納付書など父名義で来ると思います。父名義の通帳を凍結せずにそのままその通帳から引き落としにしていても問題ないでしょうか?

他の相続人との間で問題になることがあります。

本人の他界日より、年月が経つと、遺産分割協議がまとまりにくくなったり、亡父名義のままの預金の使い道などで疑義が発生してもめやすくなります。
早めの名義変更が必要です。